Question

8．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁和BB₁的中点，求异面直线CM和D₁N所成的角？求异面直线A₁M和D₁N所成的角？

Answer 1

分析 可分别以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可用空间向量解决本题：可设正方体的边长为2，从而可求出图形上一些点的坐标，从而可以求出向量$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{{D}_{1}N}，\overrightarrow{{A}_{1}M}$的坐标，这样可求出向量$\overrightarrow{CM}$和$\overrightarrow{{D}_{1}N}$的夹角，$\overrightarrow{{A}_{1}M}$和$\overrightarrow{{D}_{1}N}$的夹角，从而得出对应的异面直线所成角．

解答 解：如图，分别以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则：
D₁（0，0，0），N（2，2，1），A₁（2，0，0），M（2，0，1），C（0，2，2）；
∴$\overrightarrow{CM}=（2，-2，-1），\overrightarrow{{D}_{1}N}=（2，2，1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}M}=（0，0，1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{{D}_{1}N}＞=\frac{-1}{3×3}=-\frac{1}{9}$，cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}＞$=$\frac{1}{3×1}=\frac{1}{3}$；
∴异面直线CM，D₁N所成角为arccos$\frac{1}{9}$，异面直线A₁M和D₁N所成角为arccos$\frac{1}{3}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，能确定空间点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量夹角的余弦公式，并且要弄清异面直线的方向向量的夹角和异面直线所成角的关系．