Question

13．设点M（-1，$\sqrt{3}$）是抛物线y²=2px（p＞0）准线上-点，过该抛物线焦点F的直线过A、B两点，若 $\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=0，则△MAB的面积为 （　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{5}{2}$$\sqrt{6}$
• C． 3$\sqrt{6}$
• D． $\frac{7\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由题意求出抛物线的方程，求出焦点F的坐标，由$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=0，所得$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FA}$，即k_FM•k_AB=-1求出直线AB的斜率和方程，联立抛物线方程消去y，由韦达定理和焦点弦公式求出|AB|，再求出三角形边AB的高FM，即可求出△MAB的面积．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点M（-1，$\sqrt{3}$）是抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，
所以-$\frac{p}{2}$=-1，解得p=2，
则抛物线的方程是y²=4x，焦点F的坐标是（1，0），
因为$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=0，所以$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FA}$，则k_FM•k_AB=-1，
由k_FM=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$得，k_AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以直线AB的方程是y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入y²=4x得，x²-5x+1=0，则x₁+x₂=5，所以|AB|=x₁+x₂+2=7，
由$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FA}$得，FM⊥AB，且|FM|=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
所以△MAB的面积S=$\frac{1}{2}×7×\sqrt{7}$=$\frac{7\sqrt{7}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程及性质，韦达定理和焦点弦公式，数量积的运算等，属于中档题．