Question

17．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x|x-2|，求函数f（x）的解析式．（要求画出图象）

Answer 1

分析 因为当x＞0时，f（x）=x|x-2|所以，当x＜0时，-x＞0，整体代入由函数的奇偶性可得答案；所得的函数解析式结合二次函数的图象特点，可函数的图象．

解答 解：∵x＞0时，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，0＜x＜2}\end{array}\right.$，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=-x|-x-2|，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴-f（x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
即f（x）=x|x+2|，
综上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{{x}^{2}+2x，-2＜x＜0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤-2}\end{array}\right.$
由函数的解析式可得其图象，如图：

点评 本题考查函数在对称区间的解析式，以及函数图象的作法，属中档题．