Question

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），又当-1≤x≤1时，f（x）=x³，
（1）证明函数为周期函数；
（2）证明：直线x=1是函数f（x）图象的一条对称轴；
（3）当x∈[1，5]时，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函数为T=4的周期函数；
（2）利用f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），可得f（x+2）=f（-x），f（x+1）=f（-x+1），即可证明直线x=1是函数f（x）图象的一条对称轴；
（3）分类讨论，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数为T=4的周期函数；
（2）证明：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+2）=f（-x），
∴f（x+1）=f（-x+1），
∴直线x=1是函数f（x）图象的一条对称轴；
（3）解：x∈[1，3]，-x∈[-3，-1]，-x+2∈[-1，1]，
∴f（-x+2）=（-x+2）³，
∴f（x）=（-x+2）³，
x∈[3，5]，x-4∈[-1，1]，∴f（x-4）=（x-4）³，
∴f（x）=（x-4）³，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-x+2）^{3}，x∈[1，3]}\\{（x-4）^{3}，x∈[3，5]}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，这类题往往是奇偶性和周期性结合来转化求值区间，属于中档题．