Question

12．已知函数y=f（x）不恒为0，且对于任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：y=f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 根据抽象函数关系，结合函数奇偶性的性质，利用赋值法进行证明即可．

解答 证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，
则f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令y=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的证明，利用抽象函数的关系结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．