Question

2．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1在x=x₁和x=x₂处有极值，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大值时，存在t∈R，使得x∈[1，m]（m＞1），f′（t-x）≤$\frac{36}{5}$x-$\frac{4}{5}$恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过韦达定理得到x₁+x₂，x₁x₂，结合$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的范围，得到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的范围，从而求出的范围；
（2）令u=t-x，u∈[t-m，t-1]，得到y=-$\frac{9}{5}$（u-1）²+1，通过讨论t的范围得到不等式，求出m的最大值即可．

解答 解：（1）令f′（x）=ax²-2ax+1=0
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∵1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，∴$\frac{1}{5}$≤$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜1，
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（$\frac{6}{5}$，6），
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{2x}_{1}x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{4-\frac{2}{a}}{\frac{1}{a}}$∈（$\frac{6}{5}$，6）
解得：a∈（$\frac{4}{5}$，2）
（2）：[f（t-x）]′=-f′（t-x）=-a（t-x）²+2a（t-x）-1，
令u=t-x，u∈[t-m，t-1]，
∴y=-$\frac{9}{5}$（u-1）²+1，
①当t-1≤1即t≤2时：
y_max=y_t-1=-$\frac{9}{5}$（t-2）²+$\frac{4}{5}$≤$\frac{36}{5}$m-$\frac{4}{5}$，
解得：m≤$\frac{9}{2}$，
②当2＜t＜m+1时：y_max=$\frac{4}{5}$≤$\frac{36}{5}$m-$\frac{4}{5}$，
解得：m≤$\frac{9}{2}$，
③当t≥m+1时：y_max=-$\frac{9}{5}$（t-m+1）²+$\frac{4}{5}$≤$\frac{4}{5}$，
综上：m≤$\frac{9}{2}$．
故m的最大值是；$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了导数的应用，函数的单调性问题，考查分类讨论，是一道中档题．