Question

13．若函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R）的导函数在区间（2，4）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （-8，-4）

Answer 1

分析 先根据导函数在区间（2，4）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．

解答 解：∵函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R），
∴$f\;'（x）=1-\frac{b}{{x}^{2}}$
∵函数f（x）=x+$\frac{b}{x}$（b∈R）的导函数在区间（2，4）上有零点，
∴当$1-\frac{b}{{x}^{2}}=0$时，b=x²，x∈（2，4），
∴b∈（4，16），
令f′（x）＞0 得到$x＜-\sqrt{b}或x＞\sqrt{b}$
即f（x）的单调增区间为（-∞，$-\sqrt{b}$），（$\sqrt{b}，+∞$）
∵b∈（4，16），∴$\sqrt{b}$∈（2，4），
∴（-8，-4）适合题意，
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．