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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.

(1)求二面角B1MNB的正切值;

(2)求证:PB⊥平面MNB1

(3)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离.

答案:
解析:

  (1)解:连结BD交MN于F,连结B1F.

  ∵平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD,

  ∴AC⊥平面DD1B1B.又∵AC//MN,

  ∴MN⊥平面DD1B1B.

  ∵B1F,BF平面DD1B1B,

  ∴B1F⊥MN,BF⊥MN.

  ∵B1F平面B1MN,

  BF平面BMN,则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.

  在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=

  ∴tan∠B1FB=

  (2)证明:过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连结BE.

  又DA⊥平面ABB1A1,∴PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.

  又BE⊥B1M,∴B1M⊥平面PEB.

  ∴PB⊥MB1

  由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1

  (3)解:PB=,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一:


练习册系列答案
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B1C
EF
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13
AB

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