【题目】已知是椭圆
:
(
)与抛物线
:
的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点
.
(Ⅰ)求椭圆及抛物线
的方程;
(Ⅱ)设过且互相垂直的两动直线
,
与椭圆
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,求四边形
面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为
,抛物线
的方程为
;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据是椭圆
:
(
)与抛物线
:
的一个公共点,可求得
,从而可得相同的焦点
的坐标,结合
,即可求得
与
,从而可得椭圆
及抛物线
的方程;(Ⅱ)由题可知直线
斜率存在,设直线
的方程
,
,当
时,求出
,当
时,直线
的方程为
,结合韦达定理及弦长公式求得
及
,表示出
,通过换元及二次函数思想即可求得四边形
面积的最小值.
(Ⅰ)抛物线
:
一点
,即抛物线
的方程为
,
又在椭圆
:
上
,结合
知
(负舍),
,
椭圆
的方程为
,抛物线
的方程为
.
(Ⅱ)由题可知直线斜率存在,设直线
的方程
,
①当时,
,直线
的方程
,
,故
②当时,直线
的方程为
,由
得
.
由弦长公式知
.
同理可得.
.
令,则
,当
时,
,
综上所述:四边形面积的最小值为8.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个,从中国某城市的高中生中随机抽取了55人,从美国某城市高中生中随机抽取了45人进行答题。中国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占
,选择“个人空间”的高中生的人数占
,美国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占
,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占
,选择“个人空间”的高中生的人数占
。
(1)请根据以上调查结果将下面的2X2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为恋家(在家里感到最幸福)与国别有关;
在家里感到最幸福 | 在其他场所感到最幸福 | 总计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
总计 |
(2)从被调查的不“恋家”的美国高中生中,用分层抽样的方法随机选出4人接受进一步调查,再从4人中随机选出2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率。
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.8 |
附:
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【题目】已知函数f(x)=2x-P2-x,则下列结论正确的是( )
A. ,
为奇函数且为R上的减函数
B. ,
为偶函数且为R上的减函数
C. ,
为奇函数且为R上的增函数
D. ,
为偶函数且为R上的增函数
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【题目】已知函数 ( x R ,且 e 为自然对数的底数).
⑴ 判断函数 f x 的单调性与奇偶性;
⑵是否存在实数 t ,使不等式对一切的 x R 都成立?若存在,求出 t 的值,若 不存在说明理由.
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【题目】从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是
,从两袋内各摸出1个球,则
等于( )
A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有1个红球的概率D. 2个球中恰好有1个红球的概率
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【题目】大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡的可种植株的实验田地,每株放入三粒“超级豆”种子,且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆
.已知每粒豆苗种子成活的概率为
(假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没有影响).
(Ⅰ)求恰好有3株成活的概率;
(Ⅱ)记成活的豆苗株数为,收成为
,求随机变量
分布列及
数学期望
.
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【题目】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的个球中有
个所标的面值为
元,其余
个均为
元,求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是元,并规定袋中的
个球只能由标有面值为
元和
元的两种球组成,或标有面值
元和
元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的
个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
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【题目】已知双曲线具有性质:若
、
是双曲线左、右顶点,
为双曲线上一点,且
在第一象限.记直线
,
的斜率分别为
,
,那么
与
之积是与点
位置无关的定值.
(1)试对椭圆,类比写出类似的性质(不改变原有命题的字母次序),并加以证明.
(2)若椭圆的左焦点
,右准线为
,在(1)的条件下,当
取得最小值时,求
的垂心
到
轴的距离.
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