Question

2．设集合A={x|6+$\sqrt{3}$＜x≤10}．
（1）A是有限集还是无线集？
（2）3+$\sqrt{10}$是不是集合A中的元素？5$\sqrt{3}$呢？

Answer 1

分析 （1）显然可看出满足条件的x有无数个，从而说明A是无限集；
（2）判断$3+\sqrt{10}$和$5\sqrt{3}$是不是集合A的元素，就要看这两个数是否满足条件$6+\sqrt{3}＜x≤10$，这样可用作差的方法比较3$+\sqrt{10}$，5$\sqrt{3}$同6$+\sqrt{3}$及10的大小关系，这样便可得出答案．

解答 解：（1）A表示区间（$6+\sqrt{3}，10$]上的实数形成的集合，有无限个元素，是无限集；
（2）$3+\sqrt{10}-（6+\sqrt{3}）=\sqrt{10}-\sqrt{3}-3$；
$（\sqrt{10}）^{2}-（\sqrt{3}+3）^{2}$=$10-3-9-6\sqrt{3}＜0$；
∴$3+\sqrt{10}＜6+\sqrt{3}$；
∴$3+\sqrt{10}∉A$；
$5\sqrt{3}-（6+\sqrt{3}）=4\sqrt{3}-6＞0$；
∴$5\sqrt{3}＞6+\sqrt{3}$；
显然$5\sqrt{3}＜10$；
即$6+\sqrt{3}＜5\sqrt{3}＜10$；
∴$5\sqrt{3}$∈A．

点评 考查描述法表示集合的定义，实数在一个区间上的个数，元素与集合的关系，清楚如何判断一个元素是否为一集合的元素．