Question

3．（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy；
（2）设1＜a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

分析 （1）去分母，寻找与不等式等价的式子，使用因式分解得出不等式成立的条件；
（2）令设log_ab=x，log_bc=y，则不等式与（1）中的不等式等价．

解答 证明：（1）∵x≥1，y≥1，
∴x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy?xy（x+y）+1≤x+y+x²y²．
?（x+y）（xy-1）+（1-x²y²）≤0，
?（xy-1）（x+y-1-xy）≤0，
?（xy-1）（x+1）（1-y）≤0．
∵x≥1，y≥1，
∴xy-1≥0，x+1＞0，1-y≤0，
∴（xy-1）（x+1）（1-y）≤0成立．，
∴x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
（2）设log_ab=x，log_bc=y，则log_ac=xy，log_ca=$\frac{1}{xy}$，log_ba=$\frac{1}{x}$，log_cb=$\frac{1}{y}$．
∴log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac?x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
∵1＜a≤b≤c，∴log_ab≥1，log_bc≥1，即x≥1，y≥1．
由（1）可知x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
∴log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

点评 本题考查了不等式的证明及应用，对数的运算性质，属于中档题．