Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，F是椭圆的焦点，点A（0，-2），直线AF的斜率为

2 3

3

，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率以及直线的斜率，求出椭圆的几何量，然后求椭圆C的方程；
（2）由设直线的斜率为k，方程为y=kx-2，联立直线与椭圆方程，通过△=16（4k²-3）＞0，求出k的范围，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，求出|PQ|，坐标原点O到直线的距离，得到S_△OPQ的表达式，利用换元法以及基本不等式，通过面积的最大值，求出k的值，得到直线方程．

解答： 解：（1）设F（c，0），由题意k_AF=

2

c

=

2 3

3

，
∴e=

3

，又∵离心率

c

a

=

3

2

，∴a=2，
∴b=

a2-c2

=1，椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；-----------------------（4分）
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，方程为y=kx-2，
联立直线与椭圆方程：

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，化简得：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由△=16（4k²-3）＞0，∴k²＞

3

4

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，--------------------（6分）
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

4 4k2-3

1+4k2

，
坐标原点O到直线的距离为d=

2

k2+1

，
S_△OPQ=

1

2

1+k2

•

4 4k2-3

1+4k2

•

2

k2+1

=

4 4k2-3

1+4k2

，-----------------（8分）
令t=

4k2-3

（t＞0），则 S_△OPQ=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

，
∵t+

4

t

≥4，当且仅当t=

4

t

，即t=2时等号成立，
∴S_△OPQ≤1，故当t=2，即

4k2-3

=2，k²=

7

4

＞

3

4

，
∴k=±

7

2

时，△OPQ的面积最大，------------------------（10分）
此时直线的方程为：y=±

7

2

x-2．---------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．