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    已知点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m≤-1），记点M的轨迹为曲线C．
    （1）求曲线C的方程，并判断曲线C为何种曲线；
    （2）若曲线C经过点（
    		2
    2
    ，1）．
    ①当点M在曲线C上运动时，求
    MA
    •
    MB
    +
    MA
    2    的取值范围；
    ②过点D（2，0）的直线L与曲线C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）设M（x，y）；则kAM=
    y-0
    x+1
    ，kMB=
    y-0
    x-1
    ；则有
    y-0
    x+1
    •
    y-0
    x-1
    =m；讨论m确定曲线的形状及方程；
    （2）代入求得曲线方程为
    y2
    2
    +x2=1，
    ①从而设设M（cosa，
    		2
    sina）；表示出向量
    MA
    =（cosa+1，
    		2
    sina），
    MB
    =（cosa-1，
    		2
    sina）；从而求其取值范围；
    ②设直线L的方程为x=my+2；与椭圆
    y2
    2
    +x2=1联立消x得，（2m2+1）y2+8my+6=0；从而求出m2＞
    3
    2
    ；再由图象可知，△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为E，F两个的纵坐标的绝对值之比，故求解方程（2m2+1）y2+8my+6=0；从而得到比值
    -8m-
    		16m2-24
    -8m+
    		16m2-24
    ，分离常数法求其取值范围即可．
    解答： 解：（1）设M（x，y）；则
    kAM=
    y-0
    x+1
    ，kMB=
    y-0
    x-1
    ；
    则由题意可得，
    y-0
    x+1
    •
    y-0
    x-1
    =m；
    故y2=m（x2-1）；
    若m=-1，则可化为y2+x2=1；
    表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；
    若m＜-1；则
    y2
    -m
    +x2=1；
    表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；
    （2）由题意，
    1
    -m
    +
    1
    2
    =1；
    故m=-2；
    故C：
    y2
    2
    +x2=1；
    ①设M（cosa，
    		2
    sina）；
    则
    MA
    =（cosa+1，
    		2
    sina），
    MB
    =（cosa-1，
    		2
    sina）；
    MA
    •
    MB
    +
    MA
    2    =（cosa+1，
    		2
    sina）•（2cosa，2
    		2
    sina）
    =2cos2a+2cosa+4sin2a
    =-2cos2a+2cosa+4；
    故-2-2+4≤
    MA
    •
    MB
    +
    MA
    2    ≤
    9
    2
    ；
    即0≤
    MA
    •
    MB
    +
    MA
    2    ≤
    9
    2
    ；
    ②设直线L的方程为x=my+2；
    与椭圆
    y2
    2
    +x2=1联立消x得，
    （2m2+1）y2+8my+6=0；
    故△=64m2-4×6×（2m2+1）＞0，
    解得，m2＞
    3
    2
    ；
    y=
    -8m±
    		16m2-24
    2m2+1
    ；不妨设m＜0；
    故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为
    -8m-
    		16m2-24
    2m2+1
    -8m+
    		16m2-24
    2m2+1
    =
    -8m-
    		16m2-24
    -8m+
    		16m2-24

    =-1+
    -16m
    -8m+
    		16m2-24

    =-1+
    16
    8+
    		16-
    24
    m2
    ；
    ∵m2＞
    3
    2
    ，
    ∴0＜
    		16-
    24
    m2
    ＜4；
    故8＜8+
    		16-
    24
    m2
    ＜12；
    故
    4
    3
    ＜
    16
    8+
    		16-
    24
    m2
    ＜2；
    故
    1
    3
    ＜-1+
    16
    8+
    		16-
    24
    m2
    ＜1；
    故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围为（
    1
    3
    ，1）．
    点评：本题考查了圆锥曲线中的最值问题及取值范围问题，属于难题．
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    a
    ，
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    b
    |=1，且
    a
    与
    b
    具有关系|k
    a
    +
    b
    |=
    		3
    |
    a
    -k
    b
    |（k＞0）．
    （1）
    a
    与
    b
    能垂直吗？
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    AN
    ，k∈[
    		2
    2
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    		6
    3
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    1
    x
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    ．

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