Question

设向量

a

，

b

满足|

a

|=1，|

b

|=1，且

a

与

b

具有关系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0）．
（1）

a

与

b

能垂直吗？
（2）若

a

与

b

夹角为60°，求k的值．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,向量的模,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|两边平方后代入|

a

|=1，|

b

|=1整理，得到8k

a

•

b

=2k2+2≥2＞0，说明

a

与

b

不可能垂直；
（2）把

a

与

b

的数量积代入（1）中整理得到的等式，化为关于k的方程求解k的值．

解答： 解：（1）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，得(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
∵|

a

|=1，|

b

|=1，
整理得：8k

a

•

b

=2k2+2≥2＞0，
∴

a

与

b

不可能垂直；
（2）由8k

a

•

b

=2k2+2，
且

a

与

b

夹角为60°，则
8k|

a

|•|

b

|cos60°=2k2+2，
又|

a

|=1，|

b

|=1，
得8k•

1

2

=2k2+2，解得：k=1．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，训练了由数量积判断两个向量的垂直关系，是中档题．