Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．
（1）求点B到平面DCP的距离；
（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点B作BF⊥PC，由面DCP⊥面BCP可知，BF即点B到面DCP的距离；
（2）确定点M到面DCP的距离即点B到面DCP的距离，利用MP的范围，即可求sinα的取值范围．

解答 解：（1）过点B作BF⊥PC，由面DCP⊥面BCP可知，BF即点B到面DCP的距离，
在正△PBC中，$BF=\sqrt{3}$，即点B到平面DCP的距离为$\sqrt{3}$． …（6分）
（2）∵CD∥AB，∴点M到面DCP的距离即点B到面DCP的距离，
而$MP∈[2，2\sqrt{2}]$，…（8分）
所以$sinα=\frac{BF}{MP}∈[\frac{{\sqrt{6}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．…（12分）

点评 本题考查点到平面距离的计算，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．