Question

9．四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．
（1）求证：AF⊥EF；    
（2）求二面角A-PC-B的平面角．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
设平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=60°，
∴二面角A-PC-B的平面角为60°．

点评 本题考查空间线面关系以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．