Question

10．已知（ax+1）ⁿ的展开式中有连续三项的二项式系数之比为1：2：3．
（1）求n的值；
（2）若展开式中含x的项的系数为112，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设连续三项的二项式系数分别是${C}_{n}^{k}$，${C}_{n}^{k+1}$，${C}_{n}^{k+2}$，由已知得到${C}_{n}^{k}$：${C}_{n}^{k+1}$：${C}_{n}^{k+2}$=1：2：3，利用组合数公式化简求n，k；
（2）利用（1）的结论，写出展开式的特征项，得到关于a的等式解之．

解答 解：设连续三项的二项式系数分别是${C}_{n}^{k}$，${C}_{n}^{k+1}$，${C}_{n}^{k+2}$，由已知得到${C}_{n}^{k}$：${C}_{n}^{k+1}$：${C}_{n}^{k+2}$=1：2：3，
所以$\frac{n!}{（k-1）!（n+1-k）!}：\frac{n!}{k!（n-k）!}：\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$=1：2：3，
所以（k+1）k：（k+1）（n+1-k）：（n+1-k）（n-k）=1：2：3，
所以n=14，k=5；
（2）由（1）可知展开式中第14项含x的项，系数为112，所以T₁₄=${C}_{14}^{13}ax$，系数为14a=112，解得a=8．

点评 本题考查了二项式定理的运用；关键是由已知求出n，利用二项展开式的特征项求a．