Question

19．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R）的导函数f′（x）=（x+1）（x-2）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[-3，2]上的最小值时$\frac{1}{2}$，求函数f（x）在R上的极大值．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间；
（2）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．

解答 解：（1）f（x）的导数f′（x）=（x-2）（x+1），
由f′（x）=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．
（2）由f′（x）=3ax²+2bx+c=x²-x-2得：3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-2，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+d，
由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-$\frac{15}{2}$+d，f（2）=-$\frac{10}{3}$+d，知f（-3）＜f（2），
于是f（-3）=-$\frac{15}{2}$+d=$\frac{1}{2}$，则d=8，
∴f（x）_极大值=f（-1）=$\frac{7}{6}$+8=$\frac{55}{6}$．

点评 本题考查函数的单调区间和极值，综合性强，难度稍大，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．