Question

9．一个袋中有4个黑球，2个白球．
（1）从袋中依次取出2个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第二次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出2个球，已知第一次取到的是白球，求第二次取到的黑球的概率；
（3）有放回地依次取出2个球，求取到白球个数X的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析 （1）利用乘法原理得出发生基本事件${C}_{2}^{1}$${C}_{4}^{1}$，根据排列组合知识得出总共的基本事件${C}_{6}^{2}$，
运用概率公式得出P（A），
（2）利用乘法原理得出发生基本事件${C}_{2}^{1}$${C}_{4}^{1}$，根据排列组合知识得出总共的基本事件${C}_{6}^{1}$${C}_{6}^{1}$，
运用概率公式得出P（B），
（3）确定取到白球个数X=0，1，2，利用概率公式得出P（X=0），P（X=1），P（X=2），求解分布列即可．

解答 解；（1）设“袋中依次取出2个球，不放回，第一次取出的是白球，求第二次取到黑球”事件为A，
则P（A）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$．
（2）设“袋中依次取出2个球，有放回，第一次取出的是白球，求第二次取到黑球”事件为B，
则P（B）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{4}^{1}}{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}$=$\frac{8}{36}$=$\frac{2}{9}$，
（3）取到白球个数X=0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{4}^{1}}{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{4}^{1}{{+C}_{4}^{1}C}_{2}^{1}}{36}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=2）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{2}^{1}}{36}$=$\frac{1}{9}$，

X	0	1	2
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

E（X）=0×$\frac{4}{9}$$+1×\frac{4}{9}$$+2×\frac{1}{9}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$．
D（X）=（0-$\frac{2}{3}$）²×$\frac{4}{9}$+（1-$\frac{2}{3}$）²×$\frac{4}{9}$$+（2-\frac{2}{3}）$²×$\frac{1}{9}$=$\frac{36}{81}$=$\frac{4}{9}$

点评 本题运用列举法求解离散型的概率分布问题，数学期望，方差的求解，属于中档题．