Question

14．设T_n是数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n，n∈N^*；
（1）证明{$\frac{1}{1{-}_{{a}_{n}}}$}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²，求证：S_n＞a_n+1-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过令n=1即T₁=a₁=1-a₁，可知a₁=$\frac{1}{2}$，当n≥2时，通过T_n=1-a_n、a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$可知$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=1-T_n，两边同除以T_n•T_n-1，可得：$\frac{1}{{T}_{n}}$-$\frac{1}{{T}_{n-1}}$=1，进而可得结论；
（2）通过a_n=$\frac{n}{n+1}$、累乘可知T_n=$\frac{1}{n+1}$，利用放缩法、并项相加即得结论．

解答 证明：（1）由题可知当n=1时，T₁=a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，由T_n=1-a_n可知a_n=1-T_n，
又∵a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，
∴$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=1-T_n，
两边同除以T_n•T_n-1，可得：$\frac{1}{{T}_{n}}$-$\frac{1}{{T}_{n-1}}$=1，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=1，
又∵$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{1{-}_{{a}_{n}}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴1-a_n=$\frac{1}{n+1}$，
即数列{a_n}的通项a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）∵a_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•$…$•\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²
=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
＞$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=1-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{n+1}{n+2}$-$\frac{1}{2}$
=a_n+1-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查是一道数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．