Question

19．如图，我们知道圆环是线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，所以，圆环的面积S=π（R²-r²）=（R-r）×2π×$\frac{R+r}{2}$可以看作是以线段AB=R-r为宽，以AB的中心绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×$\frac{R+r}{2}$为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x-2）²+y²≤1}绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是4π²．

Answer 1

分析 根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×$\frac{R+r}{2}$为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）²+y²=r²为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案

解答 解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，
以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×$\frac{R+r}{2}$为长的矩形面积．
拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，
则所形成的旋转体的体积应等于：
以圆（x-d）²+y²=r²为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．
故V=πr²•2πd=2π²r²d，
当d=2，r=1时，V=4π²，
故答案为：4π²．

点评 本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）²+y²=r²为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．是解答的关键．