Question

5．解关于x的不等式．
（1）$\sqrt{2x-a}$＜$\sqrt{x+1}$；
（2）（x²-1）$\sqrt{{x}^{2}+1}$＜x（x²+1）

Answer 1

分析 （1）原不等式化为$\left\{\begin{array}{l}{x＜a+1}\\{x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，分类讨论，即可得到不等式的解集．
（2）（x²-1）$\sqrt{{x}^{2}+1}$＜x（x²+1）?x²-1＜x$\sqrt{{x}^{2}+1}$，根据x的值和-1，0，1的关系，分类讨论即可．

解答 解：（1）$\sqrt{2x-a}$＜$\sqrt{x+1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-a＜x+1}\\{2x-a≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＜a+1}\\{x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
当a+1＜$\frac{a}{2}$时，即a≤-2时，解集为空集，
当a+1＞$\frac{a}{2}$时，即a＞-2时，解集为（$\frac{a}{2}$，a+1）
（2）（x²-1）$\sqrt{{x}^{2}+1}$＜x（x²+1）?x²-1＜x$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
当0≤x≤1时，不等式成立，即解集为[0，1]，
当x＞1时，不等式两边平方得到x⁴-2x²+1＜x⁴+x²，即x²＞$\frac{1}{3}$，解得x＞1，故解集为（1，+∞）
当x≤-1时，左边为非负数，右边为负数，不等式不成立，故解集为∅，
当-1＜x＜0时，不等式化为1-x²＞-x$\sqrt{{x}^{2}+1}$，不等式两边平方得到x⁴-2x²+1＞x⁴+x²，即x²＜$\frac{1}{3}$，解得-1＜x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故解集为（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述，原不等式的解集为（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪[0，+∞）．

点评 本题考查不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．