Question

19．已知f′（x）是奇函数f（x）的导数，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，f（-1）=0，求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 构造函数令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为奇函数，得到函数g（x）为偶函数，根据f（-1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x）是奇函数，
∴g（x）为偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）上为增函数，
∵f（-1）=0，
∴g（1）=g（-1）=$\frac{f（-1）}{-x}$=0，
当0＜x＜1，
g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞0，
当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜0，
∴当x＜-1时，g（x）＜0，即f（x）＞0，
故不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．