Question

10．已知F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若△PF₁F₂的面积为9，则b的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过椭圆定义知PF₁+PF₂=2a，通过$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$可知（PF₁）²+（PF₂）²=（2c）²，利用△PF₁F₂的面积为9可得$\frac{1}{2}$•PF₁•PF₂=9，通过（PF₁+PF₂）²=（PF₁）²+（PF₂）²+2PF₁•PF₂代入计算即可．

解答 解：根据椭圆定义知PF₁+PF₂=2a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴（PF₁）²+（PF₂）²=（2c）²，
又∵△PF₁F₂的面积为9，
∴$\frac{1}{2}$•PF₁•PF₂=9，
∴（2a）²=（PF₁+PF₂）²
=（PF₁）²+（PF₂）²+2PF₁•PF₂
=4c²+36，
∴b²=a²-c²=9，
∴b=3，
故选：C．

点评 本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．