Question

5．设F₁、F₂，分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使|OF₁|=|OM|，O为坐标原点，且|MF₁|=$\sqrt{2}$|MF₂|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{3}+\sqrt{6}$

Answer 1

分析 依题意可知|OF₁|=|OF₂|=|OP|判断出∠F₁PF₂=90°，设出|PF₂|=t，则|F₁P|=$\sqrt{2}$t，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵|OF₁|=|OF₂|=|OM|
∴∠F₁MF₂=90°
设|MF₂|=t，则|F₁M|=$\sqrt{2}$t，a=$\frac{\sqrt{2}t-t}{2}$
∴t²+2t²=4c²，
∴t=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于基础题．