Question

14．数列{a_n}中 a₁=2，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{i}$是否存在实数c，使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2对于n∈N^*恒成立．若存在，求出实数c的取值范围，不存在，说明理由．
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{16{n}^{2}{-a}_{n}^{2}}$．若数列{b_n}前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*）变形可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$可知S_n=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），假设存在实数c满足条件，对$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2中的分母的正负进行讨论即可；
（3）通过a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{4n}{{2}^{n}}$，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），累计即可．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
又∵a₁=2，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$=2，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴数列{a_n}的通项a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$；
（2）结论：存在实数c∈[2，4），使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2对于n∈N^*恒成立．
理由如下：
∵$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{i}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
假设存在实数c，使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2对于n∈N^*恒成立，则
①当S_n-c＞0即c＜S_n＜4时，S_n+1-c＞2S_n-2c，
∴c＞2S_n-S_n+1=2•4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=4-$\frac{6}{{2}^{n}}$≥1，
∴实数c的取值范围为1≤c＜4；
②当S_n-c＜0即c＞S_n≥2时，S_n+1-c＜2S_n-2c，
∴c＜2S_n-S_n+1=2•4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=4-$\frac{6}{{2}^{n}}$＜4，
∴实数c的取值范围为2≤c＜4；
综上所述：存在实数c∈[2，4），使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2对于n∈N^*恒成立；
（3）证明：∵a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{4n}{{2}^{n}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{16{n}^{2}{-a}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{16{n}^{2}}{{4}^{n}}}{16{n}^{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}$=$\frac{1}{{4}^{n}-1}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．