Question

2．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式的前三项的系数成等差数列；
（1）求（$\sqrt{x}$•$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展开式中所有的有理项；
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件求得n=8，可得（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展开式的通项公式，再令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中所有的有理项．
（2）根据（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁸展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，再利用二项式系数的性质可得系数的绝对值最大的项．

解答 解：（1）由题意可得2×${C}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，求得n=8，或n=1（舍去），
故（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$．
令4-$\frac{3r}{4}$为整数，可得r=0，4，8，
故有理项为T₁=x⁴；T₅=${C}_{8}^{4}$•$\frac{1}{16}$x=$\frac{35}{8}$x；T₉=$\frac{1}{256}$x^-2．
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁸展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，
再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}•{|（-2）}^{r}|{≥C}_{8}^{r-1}{•|（-2）}^{r-1}|}\\{{C}_{8}^{r}•{|（-2）}^{r}|{≥C}_{8}^{r+1}•{|（-2）}^{r+1}|}\end{array}\right.$，求得5≤r≤6，故系数的绝对值最大的项为 T₆=1792${x}^{\frac{17}{2}}$，T₇=1792x^-11．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．