Question

9．设x、y、z是三个不全为零的实数，求$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由于求的是最大值，可设x，y，z＞0，由x²+my²≥2$\sqrt{m}$xy，（0＜m＜1，x=$\sqrt{m}$y取得等号），由（1-m）y²+z²≥2$\sqrt{1-m}$yz（z=$\sqrt{1-m}$y取得等号），当2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$时，对分母运用基本不等式，化简整理，即可得到最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

解答 解：由于求的是最大值，可设x，y，z＞0，
由x²+my²≥2$\sqrt{m}$xy，（0＜m＜1，x=$\sqrt{m}$y取得等号），
由（1-m）y²+z²≥2$\sqrt{1-m}$yz（z=$\sqrt{1-m}$y取得等号），
当2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$时，
$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{xy+2yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{5}{y}^{2}）+（\frac{4}{5}{y}^{2}+{z}^{2}）}$≤$\frac{xy+2yz}{\frac{2\sqrt{5}}{5}xy+\frac{4\sqrt{5}}{5}yz}$
=$\frac{5}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
当且仅当2x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y=z时，取得最大值，且为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，运用待定系数法求得m，是解题的关键，属于中档题．