Question

4．在双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$中，F₁，F₂分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，三角形PF₁F₂的重心为G，内心为I，若IG∥F₁F₂，则点P的横坐标为$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．

Answer 1

分析 利用切线长定理，可得|F₁D|-|F₂D|=4，设P（x，y），则I（3-$\frac{y}{3}$，$\frac{y}{3}$），D（3-$\frac{y}{3}$，0），即可得出结论．

解答 解：由题意，设内切圆与PF₁，PF₂，F₁F₂的切点分别为M，N，D，则，
|PF₁|-|PF₂|=4可得|F₁M|-|F₂N|=4，
∴|F₁D|-|F₂D|=4，
设P（x，y），则I（3-$\frac{y}{3}$，$\frac{y}{3}$），∴D（3-$\frac{y}{3}$，0）
∴6-$\frac{y}{3}$-$\frac{y}{3}$=4，
∴y=3，
代入双曲线方程可得x=$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，比较基础．