Question

19．已知函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，且a₀≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为$\sqrt{5}$|d|．

Answer 1

分析 先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f′（x）的零点，从而求出答案．

解答 解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：
t+3，t+1，t-1，t-3，公差d=2，
f（x）=（x-t-3）（x-t-1）（x-t+1）（x-t+3），
用平方差公式：
f（x）=[（x-t）²-1][（x-t）²-9]，
令g（x）=（x-t）²-1，h（x）=（x-t）²-9，
f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），
整理得：f′（x）=4（x-t）（x²-2tx+t²-5），
令f′（x）=0，解得：x=t-$\sqrt{5}$，t，t+$\sqrt{5}$，
∴零点的最大值与最小值的差是；2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$|d|，
故答案为：$\sqrt{5}$|d|．

点评 本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题．