Question

7．已知x＞y＞0，且xy=3，求$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$的最小值及相应的x、y值．

Answer 1

分析 由题意可得x-y＞0，运用配方结合条件化简所求代数式为（x-y）+$\frac{4}{x-y}$，又基本不等式，以及等号成立的条件可得最小值和相应的x，y的值．

解答 解：x＞y＞0，即为x-y＞0，
由xy=3，
$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2xy-2}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+4}{x-y}$
=（x-y）+$\frac{4}{x-y}$≥2$\sqrt{（x-y）•\frac{4}{x-y}}$=4．
当且仅当x-y=$\frac{4}{x-y}$，即x-y=2，
又xy=3，即为x=3，y=1取得等号．
则有$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$的最小值为4，
相应的x=3，y=1．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．