Question

18．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足|$\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO}$|，且$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则cos∠BAC=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$得：$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$，从而可得到$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，D为边AC的中点，这时可讨论λ=0，λ≠0两种情况：λ=0时显然AB⊥BC，从而得出cos$∠BAC=\frac{3}{4}$，而λ≠0时，便有BD⊥AC，从而得出cos∠BAC=$\frac{2}{3}$，综合这两种情况即可得出cos∠BAC的值．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$$+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{λ-1}{2}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}）=\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$；
由$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO}|$知O为△ABC的外接圆圆心；
设AC中点为D，则$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，如图所示：
则B，O，D三点共线；
①若λ≠0，则$\overrightarrow{BO}≠\overrightarrow{BD}$，∴O与D不重合；
∴$cos∠BAC=\frac{2}{3}$；
②若λ=0，则$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BD}$，∴O与D重合，∴AB⊥BC，∴cos$∠BAC=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{3}{4}$；
综上得cos$∠BAC=\frac{2}{3}$，或$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 考查向量减法的几何意义，向量数乘的运算，以及共线向量基本定理，相等向量的概念，余弦函数的定义，直角三角形外接圆圆心在斜边中点上．