Question

3．f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx则不等式f（x）cosx＞0的解集是（　　）

• A． [-3，0]
• B． $（-\frac{π}{2}，0）∪（\frac{π}{2}，3]$
• C． $[-3，-\frac{π}{2}）∪（\frac{π}{2}，3]$
• D． $[-3，-\frac{π}{2}）∪（0，\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 判断F（x）=f（x）cosx是定义在[-3，3]上的奇函数，利用导数F′x）=f′（x）cosx-f（x）sinx，
根据x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，结合奇偶性得出F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是单调递减函数，[-3，0）是单调递增函数，利用特殊值求解不等式即可．

解答 解：∵F（x）=f（x）cosx，f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，
∴F（-x）=f（-x）cos（-x）=-f（x）cosx=-F（x），
∴F（x）=f（x）cosx是定义在[-3，3]上的奇函数，
∵x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是单调递减函数，
[-3，0）是单调递增函数，
∵F（$\frac{π}{2}$）=0，F（-$\frac{π}{2}$）=0，
∴不等式f（x）cosx＞0的解集[-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，$\frac{π}{2}$），
故选：D

点评 本题考察了学生综合运导数，研究函数的单调性，奇偶性求解不等式，属于综合题目，难度不大．