Question

11．已知tan2α=$\frac{3}{4}$，α∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，f（x）=sin（x+α）+sin（α-x）-2sinα，且对任意的x∈R，恒有f（x）≥0成立，试求$sin（α-\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 首先对所给的三角函数式进行整理，得到最简形式，根据有对任意x∈R，都有f（x）≥0成立这种恒成立问题，分析两个因式的符号，根据符号确定角的范围，根据同角的三角函数关系和两角差的正弦公式计算得到结果．

解答 解：依题意f（x）=2sinαcosx-2sinα=2sinα（cosx-1）
由对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，
∵cosx-1≤0，
∴sinα≤0，
∴-$\frac{π}{2}$≤α≤0，
由tan2α=$\frac{3}{4}$，即$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{4}$，
得tanα=-3，（$\frac{1}{3}$舍去），
∴sinα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则$sin（α-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，本题解题的关键是利用函数的恒成立确定两个因式的符号，从而确定角的范围，本题是一个比较综合的题目．