Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设a₁=2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆A_n（n=1，2，…）与x轴的交点分别为A₀（1，0）和A_n+1（a_n+1，0）．过圆心A_n作垂直于x轴的直线l_n，在第一象限与圆A_n交于点B_n（a_n，b_n）．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设曲边形A_n+1B_nB_n+1（阴影所示）的面积为S_n，若对任意n∈N^*，$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}≤m$恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得a_n+1-1=2（a_n-1），所以数列{a_n-1}是等比数列，从而an=2n-1+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得各点坐标为B_n（2^n-1+1，2^n-1），B_n+1（2ⁿ+1，2ⁿ），且An（2n-1+1，0），An+1（2n+1，0），从而Sn=S梯形AnBnBn+1An+1-S扇形AnBnAn+1，计算可得$\frac{1}{{S}_{n}}$，从而得到$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$得到 m范围．

解答 解：（Ⅰ）由条件可得，a_n+1-1=2（a_n-1），又因为a₁-1=1，可得数列{a_n-1}是等比数列．
故，${a_n}-1={2^{n-1}}$，从而${a_n}={2^{n-1}}+1$．…（6分）
（Ⅱ）因为${b_n}={a_n}-1={2^{n-1}}$，所以${B_n}（{2^{n-1}}+1，{2^{n-1}}）$，
所以${B_{n+1}}（{2^n}+1，{2^n}）$，且${A_n}（{2^{n-1}}+1，0）$，${A_{n+1}}（{2^n}+1，0）$
${S_n}={S_{梯形{A_n}{B_n}{B_{n+1}}{A_{n+1}}}}-{S_{扇形{A_n}{B_n}{A_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}×{2^{n-1}}×（{2^{n-1}}+{2^n}）-\frac{1}{4}π×{（{2^{n-1}}）^2}$=$\frac{6-π}{4}×{4^{n-1}}$
所以$\frac{1}{S_n}=\frac{4}{6-π}•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，
所以$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=\frac{4}{6-π}（1+\frac{1}{4}+…+{（\frac{1}{4}）^{n-1}}）=\frac{4}{6-π}•\frac{{1-{{（\frac{1}{4}）}^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}$=$\frac{16}{18-3π}（1-{（\frac{1}{4}）^n}）＜\frac{16}{18-3π}$．
故可得实数$m≥\frac{16}{18-3π}$．…（15分）

点评 本题考查了递推式的应用，面积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．