Question

10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为棱BC的中点，AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB=A₁B=1，BB₁=$\sqrt{2}$．求证：
（1）A₁B⊥平面ABC；
（2）A₁B∥平面AC₁D．

Answer 1

分析 （1）欲证明A₁B⊥平面ABC，只需证得A₁B垂直于平面ABC内的两条相交线即可；
（2）连接A₁C交AC₁与点E，连接DE，构建三角形的中位线，利用三角形中位线定理推知DE∥A₁B，则根据“如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”证得结论．

解答 证明：（1）因为AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，AB、BB₁?平面ABB₁，
所以BC⊥平面ABB₁，
又AB₁?平面ABB₁，
所以AB₁⊥BC； 
又因为$AB={A_1}B=1，B{B_1}=\sqrt{2}=A{A_1}$，得
$A{A_1}^2=A{B^2}+{A_1}{B^2}$，
所以A₁B⊥AB．
又AB、BC?平面ABC，AB∩BC=B，所以A₁B⊥平面ABC；
（2）连接A₁C交AC₁与点E，连接DE，在△A₁BC中，D、E分别为BC、A₁C的中点，
所以DE∥A₁B，
又A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定．熟练掌握线面面面平行于垂直的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形的中位线定理等是解题的关键．