Question

3．关于函数f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）有如下说法：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得，x₁-x₂是π的整数倍；
②表达式可改写为f（x）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
③函数的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
④函数的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称；
⑤函数在区间[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]上是减函数；
⑥函数为奇函数．其中你认为所有正确的说法的序号是②③．

Answer 1

分析 由正弦函数的周期性判断①；由诱导公式判断②；由正弦函数的对称性判断③、④；由正弦函数的单调性和整体思想判断⑤；由奇函数的定义判断⑥．

解答 解：①由f（x₁）=f（x₂）=0得，x₁-x₂是半个周期的整数倍也成立，
又f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的周期是π，①不正确；
②因为2x+$\frac{π}{3}$=2x+$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$，所以f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），②正确；
③当x=-$\frac{π}{6}$时，2x+$\frac{π}{3}$=0，则f（-$\frac{π}{6}$）=0，所以函数的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，③正确；
④由③可得函数的图象不关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，④不正确；
⑤由x∈[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]得，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则函数f（x）在区间[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]上是增函数，⑤不正确；
⑥因为f（-x）=4sin（-2x+$\frac{π}{3}$）≠-f（x），则f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）不是奇函数，⑥不正确，
综上可得，正确的命题是：②③，
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假性判断，以及正弦函数的对称性、周期性，诱导公式的应用，掌握正弦函数的图象性质是解题的关键，属于中档题．