Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=2，且2a_n-1=a_na_n+1，b_n=（a_n）ⁿ（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用（1）中你猜想的结果，试比较b_n与3的大小，并说明理由；
（3）证明：b_n＜b_n+1．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=2且2a_n-1=a_na_n+1，直接计算即可；
（2）通过a_n=1+$\frac{1}{n}$，利用二项式展开定理可得b_n=2+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{{n}^{2}}$+…+${C}_{n}^{n}$•$\frac{1}{{n}^{n}}$，利用放缩法及裂项可得${C}_{n}^{k}$•$\frac{1}{{n}^{k}}$＜$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$（k≥2），累加即可；
（3）通过分别写出b_n、b_n+1的通项，比较即可．

解答 （1）解：∵a₁=2，且2a_n-1=a_na_n+1，
∴a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
a₃=2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=2-$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{5}{4}$，
猜想数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n+1}{n}$；
（2）解：∵a_n=$\frac{n+1}{n}$=1+$\frac{1}{n}$，
∴b_n=（a_n）ⁿ=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=2+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{{n}^{2}}$+…+${C}_{n}^{n}$•$\frac{1}{{n}^{n}}$，
∵${C}_{n}^{k}$•$\frac{1}{{n}^{k}}$=$\frac{n（n-1）…（n-k+1）}{{n}^{k}•k!}$＜$\frac{1}{k!}$≤$\frac{1}{k（k-1）}$=$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$（k≥2），
∴b_n＜2+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$＜3；
（3）证明：记b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ展开式的通项为T_k+1，
则T_k+1=${C}_{n}^{k}$•$\frac{1}{{n}^{k}}$=$\frac{n（n-1）…（n-k+1）}{{n}^{k}•k!}$=$\frac{1}{k!}$（1-$\frac{1}{n}$）（1-$\frac{2}{n}$）…（1-$\frac{k-1}{n}$），
记b_n+1=（1+$\frac{1}{n+1}$）ⁿ⁺¹展开式的通项为${T}_{k+1}^{′}$，
则${T}_{k+1}^{′}$=${C}_{n+1}^{k}$•$\frac{1}{（n+1）^{k}}$=$\frac{1}{k!}$（1-$\frac{1}{n+1}$）（1-$\frac{2}{n+1}$）…（1-$\frac{k-1}{n+1}$），
显然T_k+1＜${T}_{k+1}^{′}$，则（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜（1+$\frac{1}{n+1}$）ⁿ⁺¹，
∴b_n＜b_n+1．

点评 本题是一道关于数列的综合题，考查求数列的通项、通项的取值范围、数列的单调性、二项式展开式等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．