Question

16．已知函数f（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$．
（1）若m=2，求f（x）的最值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）已知A，B是f（x）图象上二个不同的极值点，设直线AB的斜率为k，求证：k＞-1．

Answer 1

分析 （1）将m=2代入函数的表达式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数f（x）的最值；
（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间；
（3）设出A，B的坐标，问题转化为只需证$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$＞${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$（-$\frac{1}{4}$＜x≤0）成立即可，令g（m）=$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$，h（m）=${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，只需证g（m）_min＞h（m）_max即可，通过函数的单调性，分别求出它们的最值，从而问题得证．

解答 解：（1）m=2时，f（x）=lnx-x-$\frac{2}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{2}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-2）（x+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴函数f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（2）=ln2-3；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{-（x-\frac{1}{2}）}^{2}+m+\frac{1}{4}}{{x}^{2}}$，
①m≤-$\frac{1}{4}$时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减，
②-$\frac{1}{4}$＜m≤0时，0＜m+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$＜x＜$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，或x＞$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$），（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，+∞）递减，在（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$）递增，
③m＞0时，$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴函数f（x）在（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，+∞）递减，在（0，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$）递增；
（3）若A，B是f（x）图象上二个不同的极值点，
由（2）②得：-$\frac{1}{4}$＜m≤0，
不妨设A是极小值点，B是极大值点，设x₁=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，x₂=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$，而x₂-x₁=2$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴y₂-y₁=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+（x₁-x₂）+m$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$=ln$（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）$，
∴k=$\frac{ln（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）}{2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，
要证k＞-1，只需证ln$（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）$＞-2$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$即可，
只需证$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$＞${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，（-$\frac{1}{4}$＜x≤0），
令g（m）=$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$，h（m）=${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，
只需证g（m）_min＞h（m）_max即可，
显然函数g（m）在（-$\frac{1}{4}$，0]上单调递增，∴g（m）_min＞g（-$\frac{1}{4}$）=1，
而h（m）在（-$\frac{1}{4}$，0]上单调递减，∴h（m）_max＜h（-$\frac{1}{4}$）=e⁰=1，
∴g（m）＞h（m），
∴k＞-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，本题计算复杂，考查运算能力．