Question

4．已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的极大值和极小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对函数进行求导，f′（-1）=0，即可求出a的值，再利用导数求出函数的单调区间，继而得到函数y=f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的极大值和极小值；
（2）由于函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，得到f′（x）=0有实数解，再由△≥0，即可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2，
∴f′（x）=3x²+4x+1=3（x+$\frac{1}{3}$）（x+1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＜0，得：-1＜x＜-$\frac{1}{3}$，
因此，函数f（x）的单调增区间为（-$\frac{3}{2}$，-1），（-$\frac{1}{3}$，1）；单调减区间为（-1，-$\frac{1}{3}$），
f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在x=-$\frac{1}{3}$取得极小值为f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{50}{27}$，
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f′（x）=3x²+2ax+1，
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解，
∴△=4a²-12≥0，∴a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$，
因此，所求实数a的取值范围是（-∞，0$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，属于中档题．