Question

12．我国对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空气质量等级
m＜35	一级
35≤m≤75	二级
m＞75	超标

某地4月1日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）期间刘先生有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅱ）从所给15天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“他这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，利用古典概型概率公式求解即可．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3 求出概率得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）记“他这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件B，P（B）=$\frac{{C}_{5}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{5}{9}$   …（5分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3    …（6分）
 P（ξ=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{24}{91}$    
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{45}{91}$ 
 P（ξ=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}•{C}_{5}^{2}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{20}{91}$       
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{2}{91}$  …（10分）
其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

Eξ=$0×\frac{24}{91}+1×\frac{45}{91}+2×\frac{20}{91}+3×\frac{2}{91}$=1…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．