Question

1．椭圆C的中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面积为8的正方形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，
①写出满足上述要求的充要条件（用含k、b的式子表示）；
②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过题意可知b=c、a²=8，进而可得结论；
（2）①通过联立直线与椭圆方程，消去y整理得关于x的一元二次方程，只需根的判别式大于0，计算即可：
②通过垂直平分线的性质易知|PA|=|PB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²，利用点A、B在椭圆上及-$2\sqrt{2}$≤x₁、x₂≤$2\sqrt{2}$且x₁≠x₂，代入计算即可．

解答 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
焦距为2c，由题设条件知a²=8，b=c，
∴b²=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$a²=4，
故椭圆C的方程式为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）①联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
∵直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，
∴△=（4kb）²-4（1+2k²）（2b²-8）＞0，
整理得：4+8k²＞b²，
即直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点的充要条件是4+8k²＞b²；
②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x₀，0），求x₀的取值范围．
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．
∵线段AB的垂直平分线与x轴相交，
∴AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．
又∵交点为P（x₀，0），
∴|PA|=|PB|，即
（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂² （*）
∵A、B在椭圆上，
∴${{y}_{1}}^{2}$=4-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$，${{y}_{2}}^{2}$=4-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$，
代入（*）式得：2（x₂-x₁）x₀=$\frac{1}{2}$（${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$），
∵x₁≠x₂，
∴x₀=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∵-$2\sqrt{2}$≤x₁、x₂≤$2\sqrt{2}$，且x₁≠x₂，
∴-$4\sqrt{2}$＜x₁+x₂＜$4\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．