Question

6．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是p，1-p．
（Ⅰ）当p为何值时，小球落入B袋中的概率最大，并求出最大值；
（Ⅱ）在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，当p=$\frac{1}{3}$时，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （I）确定事件记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N．得出P（M）=P³+（1-P）³=P³+1-3P+3P²-P³=3（P-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{1}{4}$，利用函数式子求解即可．
（II）P（M）=（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{1}{27}$$+\frac{8}{27}$=$\frac{1}{3}$．P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．利用服从ξ～B（4，$\frac{2}{3}$），数学期望公式即可．

解答 解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N．
而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=P³+（1-P）³=P³+1-3P+3P²-P³=3（P-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{1}{4}$，
∴当P=$\frac{1}{2}$时，P（M）取最小值$\frac{1}{4}$，P（N）取最大值1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当P=$\frac{1}{3}$时，
随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．且ξ～B（4，$\frac{2}{3}$），
∴E（ξ）=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考察了学生的实际应用问题，；离散型的概率求解，重复试验的数学期望公式的运用，属于中档题．