Question

13．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R），设数列的前n项和为S_n，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差数列．（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n（2）记A_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$+\frac{1}{{S}_{2}}$$+\frac{1}{{S}_{3}}$$+…+\frac{1}{{S}_{n}}$，B${\;}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{2}{{a}_{2}}$$\frac{3}{{a}_{{2}^{2}}}$+…$+\frac{n}{{a}_{{2}^{n-1}}}$，当n≥2时，计算A_n与B_n，并比较A_n与B_n的大小（比较大小只需写出结果，不用证明）．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差数列可得d²=da₁，进而可得结论；
（2）通过a_n=an可得$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，通过错位相减法可知B_n=$\frac{2}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$），通过S_n=$\frac{an（n+1）}{2}$可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即可，进而可得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差数列，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1}{{a}_{4}}$，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
即d²=da₁，
又∵d≠0，∴d=a₁=a，
∴a_n=a+a（n-1）=an，
∴S_n=$\frac{n•（a+an）}{2}$=$\frac{an（n+1）}{2}$；
（2）∵a_n=an，
∴${a}_{{2}^{n-1}}$=a•2^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴B${\;}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{2}{{a}_{2}}$$\frac{3}{{a}_{{2}^{2}}}$+…$+\frac{n}{{a}_{{2}^{n-1}}}$
=$\frac{1}{a}$•（1+2•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$），
∴$\frac{1}{2}$B_n=$\frac{1}{a}$•（$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$），
两式相减得：$\frac{1}{2}$B_n=$\frac{1}{a}$•（1+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$），
∴B_n=$\frac{2}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$）．
∵S_n=$\frac{an（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴A_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$+\frac{1}{{S}_{2}}$$+\frac{1}{{S}_{3}}$$+…+\frac{1}{{S}_{n}}$
=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{n+1}$）．
∵当n≥2时，1-$\frac{1}{n+1}$＜2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴当a＞0时，A_n＜B_n；当a＜0时，A_n＞B_n．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．