Question

7．已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*），若{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a_n}的通项公式是（　　）

• A． a_n=2^n-1
• B． a_n=2ⁿ
• C． a_n=2n
• D． a_n=2n-1

Answer 1

分析 通过将b_n=2^n-1代入a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n，利用2^n-1a_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹-（n-2）•2ⁿ计算即可．

解答 解：∵数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴b_n=2^n-1，
∴a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=（n-1-1）•2^n+1-1+2（n≥2），
两式相减得：2^n-1a_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹-（n-2）•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴a_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2n，
当n=1时，a₁b₁=2，
即a₁=2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n，
故选：C．

点评 本题考查等差数列，注意解题方法的积累，属于基础题．