Question

1．（1）当实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$时，1≤x+ay≤5恒成立，则实数a的取值范围是[0，$\frac{8}{3}$]．
（2）设P，Q分别为圆x²+（y-6）²=2和椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+y²=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，再由1≤x+ay≤5恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；
（2）求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．

解答 解：（1）由约束条件作可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0，得A（1，0）．
要使1≤x+ay≤5恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{3}{2}a-1≥0}\\{2+a-1≥0}\\{1+\frac{3}{2}a-5≤0}\\{2+a-5≤0}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤$\frac{8}{3}$．
∴实数a的取值范围是[0，$\frac{8}{3}$]．
（2）设椭圆上的点为（x，y），
∵圆x²+（y-6）²=2的圆心为（0，6），半径为$\sqrt{2}$，
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$=$\sqrt{10（1-{y}^{2}）+（y-6）^{2}}$
=$\sqrt{-9（y+\frac{2}{3}）^{2}+50}$≤5$\sqrt{2}$，
∴P，Q两点间的最大距离是5$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．
故答案为：（1）$[0，\frac{8}{3}]$ （2）$6\sqrt{2}$

点评 本题考查线性规划，以及椭圆、圆的方程，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．