Question

11．定义在上（0，$\frac{π}{4}$）的函数f（x）满足2f（x）＜f′（x）tan2x，f′（x）是f（x）的导函数，则（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{π}{6}$）
• B． f（$\frac{1}{4}$）$＞2f（\frac{π}{12}）$sin$\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{8}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{12}$）＞f（$\frac{π}{8}$）

Answer 1

分析 根据商的关系化简2f（x）＜f′（x）tan2x，由式子的特点和求导公式、法则构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sin2x}$，求出g′（x）根据条件判断出符号，得到g（x）的单调性，利用单调性验证出正确答案．

解答 解：∵在（0，$\frac{π}{4}$）上满足2f（x）＜f′（x）tan2x，
∴2（cos2x）f（x）＜f′（x）sin2x，
设g（x）=$\frac{f（x）}{sin2x}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）sin2x-2（cos2x）f（x）}{si{n}^{2}2x}$＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{12}$），则$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{3}}＞\frac{f（\frac{π}{12}）}{sin\frac{π}{6}}$，
化简可得$\sqrt{3}f（\frac{π}{12}）＜f（\frac{π}{6}）$，
故选：A．

点评 本题考查求导公式和法则，利用导数研究函数的单调性，以及构造函数法，属于中档题．