Question

2．已知函数$f（x）=\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}），（n∈{N^*}）$，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（n≥2）$，b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若${S_n}＜\frac{m-2002}{2}$对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）由于${a}_{n+1}=f（\frac{1}{{a}_{n}}）$=$\frac{2×\frac{1}{{a}_{n}}+3}{3×\frac{1}{{a}_{n}}}$=a_n+$\frac{2}{3}$利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）n≥2，b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出

解答 解：（1）${a}_{n+1}=f（\frac{1}{{a}_{n}}）$=$\frac{2×\frac{1}{{a}_{n}}+3}{3×\frac{1}{{a}_{n}}}$=a_n+$\frac{2}{3}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$，∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为$\frac{2}{3}$．
∴${a}_{n}=1+\frac{2}{3}（n-1）$=$\frac{2}{3}n$+$\frac{1}{3}$．
（2）n≥2，b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{9}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，当n=1时也成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{9}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$，
若${S_n}＜\frac{m-2002}{2}$对一切n∈N^*成立，
∴$\frac{9}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{m-2002}{2}$对一切n∈N^*成立，∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2002}{2}$，解得m≥2011．
最小正整数m的值为2011．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．