Question

7．已知a，b，c，d均为实数，函数$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}+cx+d$（a＜0）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），满足f（x₂）=x₁．则关于实数x的方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的实根个数为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，从而关于f（x）的方程a（f（x））²+bf（x）+c=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答 解：∵f′（x）=ax²+bx+c，
由题意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，即x₁，x₂是函数的两个极值点，
x₂＞x₁，从而关于f（x）的方程a[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有两个根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根据题意画图，

所以f（x）=x₁有两个不等实根，f（x）=x₂只有一个不等实根，
综上方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的不同实根个数为3个．
故选：C．

点评 查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．