Question

19．已知函数f（x）=e^x•（x²-mx）在x=$\sqrt{2}$处取得极小值．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设g（x）=ln（ax+1）-$\frac{{x}^{2}-1}{\frac{f（x）}{{e}^{x}}+4x+1}$（a＞0），若g（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）的导数，根据f′（$\sqrt{2}$）=0，从而求出m的值；（Ⅱ）先求出函数g（x）的表达式，结合g（x）的单调性，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（2-m）x-m]，
由f′（$\sqrt{2}$）=0，得：2+（2-m）$\sqrt{2}$-m=0，
解得：m=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=e^x（x²-2x），
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²-2x，
∴g（x）=ln（ax+1）-$\frac{{x}^{2}-1}{{（x+1）}^{2}}$=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1，
∴g′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{a（x+1）}^{2}-2（ax+1）}{（ax+1）（{x+1）}^{2}}$，
当x=0时，g（0）=1，
∴当函数g（x）在[0，+∞）单调递增时，g（x）_min=g（0）=1，
∴g′（x）≥0，
令h（x）=a（x+1）²-2（ax+1）=ax²+a-2≥0在[0，+∞）恒成立，
∴a-2≥0，解得：a≥2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，（Ⅱ）较复杂，结合函数的单调性可求出答案，本题属于中档题．